Equations différentielles

Introduction

Cet article propose les sujets de contrôle sur les équations différentielles donnés par Christian Jany à l'IUT de l'Indre. J'en propose une correction, celle de l'enseignant de Génie Electrique que je suis et donc exempte d'une partie de la rigueur attendue par un mathématicien.

Sujet de 2017

Il s'agit d'une évaluation d'une heure.

Exercice 1

Trouver la solution sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $2y'+3y=0$ telle que $y(0)=3$

Correction

Il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre dont la démonstration de la recherche de la solution a déjà été largement abordée en cours. On peut la réécrire avec une approche de physicien sous la forme $\frac23y'+y=0$

Soit : $\tau y'+y=0$ dont la solution de l'homogène associée s'écrit $y(x)=A.e^{-x/\tau}$

Ici on a donc : $y(x)=A.e^{-\frac32 x}$

En exploitant la condition initiale $y(0)=3$, il vient $y(0)=A=3$.

D'où la solution : $\boxed{y(x)=3e^{-\frac32 x}}$

Exercice 2

Résoudre sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'-5y=-1+4x$

Correction Solution de l'équation homogène associée :

L'équation homogène associée s'écrit $y'-5y=0$.

La solution est connue et s'écrit : $y(x)=A.e^{-(-5)x}$ soit $y(x)=A.e^{5x}$.

Solution particulière :

L'équation différentielle est de la forme $\alpha y'+\beta y = P(x)$ où $P(x)$ est un polynôme du premier ordre.

Ici, $\beta \ne 0$ donc la solution particulière est un polynôme $Q(x)$ de même degré que $P(x)$.

Soit $y(x)=Q(x)=a.x+b$ la solution particulière. On a alors $y'(x)=a$.

En remplaçant dans l'équation complète, il vient : $a-5(ax+b)=-1+4x$ ou encore $-5ax+a-5b=4x-1$

En identifiant suivant les puissances croissantes de $x$, il vient le système suivant :

$\begin{cases} -5a & =4 \\ a-5b & = -1 \end{cases}$

dont la résolution conduit immédiatement à trouver $a=-\frac45$ et $b=\frac1{25}$

Soit la solution complète suivant : $\boxed{y(x)=Ae^{5x}-\frac45x+\frac1{25} \, \, \text{avec A} \in \mathbb{R}}$

Exercice 3

Résoudre sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $2y'+y=2sin(2x)$

Correction

Il s'agit de résoudre :

\begin{equation} 2y'+y=2sin(2x) \label{exo3} \end{equation}

Solution de l'équation homogène associée :

Résultat connu : \begin{equation} y(x)=Ae^{-x/2} \label{exo3_h} \end{equation}

Solution particulière :

Le second membre de $\eqref{exo3}$ est de nature trigonométrique. On cherche donc une solution particulière de la forme $y_p(x)=Kcos(2x)+Lsin(2x)$, soit : $y_p'(x)=-2Ksin(2x)+2Lcos(2x)$

En remplaçant $y_p$ et $y_p'$ dans $\eqref{exo3}$, il vient :

\begin{equation} -4Ksin(2x) + 4Lcos(2x)+Kcos(2x)+Lsin(2x)=2sin(2x) \label{exo3_1} \end{equation}

Par identification des termes en $cos(2x)$ et en $sin(2x)$, on fait apparaître :

\begin{equation} -4K+L=2 \label{exo3_2} \end{equation}

et

\begin{equation} 4L+K=0 \label{exo3_3} \end{equation}

\begin{equation} \Leftrightarrow K=-4L \label{exo3_4} \end{equation}

$\eqref{exo3_2}$ et $\eqref{exo3_4}$ \begin{equation} \Rightarrow 16L+L=2 \Leftrightarrow L=\frac2{17} \label{exo3_5} \end{equation}

Pour finir, $\eqref{exo3_4}$ et $\eqref{exo3_5} \Rightarrow K=-\frac8{17}$

d'où la solution particulière :

\begin{equation} y_p(x)=-\frac8{17}cos(2x)+\frac2{17}sin(2x) \label{exo3_p}\end{equation}

La solution complète s'écrit donc :

\begin{equation} \boxed{ y(x)=Ae^{-x/2}-\frac8{17}cos(2x)+\frac2{17}sin(2x) \, \text{avec A} \, \in \mathbb{R}} \end{equation}

Exercice 4

En utilisant la méthode de variation de la constante pour trouver une solution particulière, résoudre sur $\mathbb{R}$ l’équation différentielle $y′+ sin(x).y = x.e^{cos(x)}$

Correction

Il s'agit de résoudre une équation différentielle de la forme :

\begin{equation} y'(x)=a(x).y(x)+b(x) \label{exo4_1} \end{equation}

où $a(x)=-sin(x)$ et $b(x)=x.e^{cos(x)}$

Il faut donc chercher une solution de $\eqref{exo4_1}$ qui soit de la forme :

\begin{equation} y(x)=C(x).e^{A(x)} \label{exo4_2} \end{equation}

où $A(x)$ est une primitive de $a(x)$.

La dérivée de $\eqref{exo4_2}$ donne :

\begin{equation} y'(x) =C(x).a(x).e^{A(x)}+C'(x).e^{A(x)} \end{equation}

\begin{equation} \Leftrightarrow y'(x)=C(x).y(x)+C'(x).e^{A(x)} \label{exo4_3} \end{equation}

Pour que $y$ satisfasse à $\eqref{exo4_1}$, il faut $b(x)=C'(x).e^{A(x)}$, soit :

\begin{equation} C'(x)=b(x).e^{-A(x)} \label{exo4_4} \end{equation}

En remplaçant $b(x)$ dans $\eqref{exo4_4}$, il vient $C'(x)=x.e^{-A(x)}.e^{A(x)}=x$

qui s'intègre aisément :

\begin{equation} C(x)=\frac{x^2}2 + C_0 \text{ avec } C_0 \in \mathbb{R} \label{exo4_5} \end{equation}

D'où la solution finale :

\begin{equation} \boxed{ y(x)=\left ( \frac{x^2}2 + C_0 \right ) .e^{cos(x)} \text{ avec } C_0 \in \mathbb{R} } \label{exo4_6} \end{equation}

A noter que la constante d'intégration $C_0$ correspond à une solution particulière de $ \eqref{exo4_1}$.

Exercice 5

Correction