Démonstration du théorème de Millman

Vous n'êtes pas authentifié. Si vous apparaissez connecté sur la page d'accueil, veuillez-vous déconnecter puis vous reconnecter.
Pour que vos résultats soient conservés, il est nécessaire de vous inscrire sur le site et de vous authentifier.
Votre note : 0/

Cet exercice propose de démontrer le théorème de Millman en se limitant à 3 branches (pour rester compatible avec le système d'auto-évaluation qui ne permet une réalisation à n branches).

La figure servant de base à cette démonstration est la suivante :

Millman

Précision importante : le circuit est complet. Cela signifie qu'il n'y a rien d'autre de connecter sur les bornes A et B.

1. Valeur du courant I

  • Valider vos choix
  • Tout effacer
  • 0 ptsPoint(s) obtenu(s)
    • Bonne réponse : 1 pt(s). Mauvaise réponse : -1 pt(s). Pas de réponse : 0 pt

    2. Utilisation de la loi des branches

    2.1. Equations de la branche de gauche

    2.1.1. Donner l'expression de la tension $U_{AB}$ en fonction de $V_1$, $R_1$ et $I_1$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(U_{AB}=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    2.1.2. En déduire l'expression du courant $I_1$ en fonction de $U_{AB}$, $V_1$ et $R_1$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I_1=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    2.2. En procédant de la même façon avec la branche centrale, donner l'expression du courant $I_2$ en fonction de $U_{AB}$, $V_2$ et $R_2$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I_2=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    2.3. Reprendre identiquement avec la branche de droite, donner l'expression du courant $I_3$ en fonction de $U_{AB}$, $V_3$ et $R_3$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I_3=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    3. Vers Millman ...

    3.1. Ecrire la loi des noeuds pour le courant $I$ avec les courants de branche $I_1$, $I_2$ et $I_3$

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    3.2. Réécrire cette expression en remplaçant les différents courants par leurs expressions établies lors de l'étude de chacune des branches

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(I=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    3.3. Pour finir, en déduire l'expression de $U_{AB}$ en fonction des $R_i$ et des $V_i$

    Conseil : passer tous les termes en $V_i$ à droite de l'égalité et on factoriser par $U_{AB}$ à gauche de l'égalité.

  • Editer/Valider vos calculs
  • Tout effacer
  • 1 ptsBarème bonne réponse
  • 0 pts Point(s) obtenu(s)
    Barème : 1 pt(s)
  • Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :




    , soit : $$$$

    Ajouter l'équation ...

    $$$$

    Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :

    \(U_{AB}=\)

    Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs. $$$$

    Correction

    La loi des noeuds nous donne : $$I=I_1+I_2+I_3$$

    Or $I=0$ donc en remplaçant les courants par leurs expressions établies précédemment, on a :

    $$\frac{U_{AB}-V_1}{R_1}+\frac{U_{AB}-V_2}{R_2}+\frac{U_{AB}-V_3}{R_3}=0$$

    $$\Leftrightarrow \frac{U_{AB}}{R_1}+\frac{U_{AB}}{R_2}+\frac{U_{AB}}{R_3}=\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}+\frac{V_3}{R_3}$$

    En factorisant par $U_{AB}$ à gauche de l'égalité, il vient :

    $$\Leftrightarrow U_{AB} \left ( \frac1{R_1} + \frac1{R_2} + \frac1{R_3} \right )=\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}+\frac{V_3}{R_3}$$

    et finalement : 

    $$\Leftrightarrow \boxed{U_{AB} =\frac{\frac{V_1}{R_1}+\frac{V_2}{R_2}+\frac{V_3}{R_3}}{\frac1{R_1} + \frac1{R_2} + \frac1{R_3}}}$$

    ce qui démontre le théorème de Millman avec 3 branches.

    Il est aisé de passer à N branches ...

    Conclusion : lorsque seules des relations aux tensions sont recherchées, utiliser Millman revient à effectuer la loi des branches et la loi des noeuds en une opération unique. Dans de nombreux cas de figure, comme c'est le cas pour les amplificateurs opérationnels par exemple, les calculs en sont grandement simplifiés.