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Montage soustracteur : découverte

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Il s'agit d'étudier le circuit dont la figure est rappelée ci-dessous :

Attention : sauf application numérique dans une question précisant les valeurs à prendre pour les résistances, on distinguera bien chaque résistance sans simplification du type \(R_1=R_3\)...

 Soustracteur

L'amplificateur opérationnel est alimenté par une alimentation double ce qui signifie que sa sortie, lorsqu'il fonctionne en régime linéaire, peut évoluer entre $-V_{CC}$ et $+V_{CC}$.

Dans cet exercice, on prend $V_{CC}=15V$.

1. Le montage est-il linéaire ? 

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    L'AOP est supposé idéal.

    Le potentiel sur la broche non-inverseuse de l'AOP est indépendant du signal de sortie \(\Rightarrow\) il n'y a pas de réaction positive.

    Le potentiel sur la broche inverseuse (-) de l'AOP est liée indirectement à la sortie par l'intermédiaire de la résistance \(R_2 \, \Rightarrow\) il y a une contre-réaction.

    Conséquence : le montage est linéaire.

    2. Ecrire Millman au point A

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    \(Va=\)

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    Correction

    Application directe du théorème en A (2 branches car la connexion à la broche inverseuse de l'AOP ne compte pas comme une branche étant donné qu'elle ne prélève pas de courant) :

    \begin{equation} \boxed{ Va=\frac{ \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_s}{R_2} }{ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} } } \label{ex5eq1} \end{equation}

    En multipliant numérateur et dénominateur par \(R_1\) et \(R_2\) :

    \begin{equation} Va=\frac{ \frac{V_1}{R_1} + \frac{V_s}{R_2} }{ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} }.\frac{R_1.R_2}{R_1.R_2} \label{ex5eq2} \end{equation}

    et en distribuant et simplifiant ( \(\frac{R_i}{R_i}=1\) ), il vient :

    \begin{equation} \boxed{Va=\frac{ R_2.V_1 + R_1.V_s }{ R_1 + R_2 } } \label{ex5eq3} \end{equation}

    3. Ecrire Millman au point B

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    $$$$

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    \(Vb=\)

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    Correction

    \begin{equation} \boxed{ Vb=\frac{ \frac{V_2}{R_3} }{ \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4} } } \label{ex5eq4} \end{equation}

    Pour faciliter les calculs par la suite, on procède à un allègement de cette expression en multipliant au numérateur et au dénominateur par \(R_3\) et par \(R_4\).

    D'où après distribution et simplification :

    \begin{equation} \boxed{Vb=\frac{ R_4.V_2 }{ R_3 + R_4 } } \label{ex5eq5} \end{equation}

    Note : on retrouve l'expression d'un diviseur de tension qu'on aurait pu appliquer directement.

    4. Déterminer l'expression de la sortie en fonction des entrées

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    \(V_s=\)

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    Correction

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    5. Cas concret : déterminer $R_2$ et $R_4$ pour avoir $V_s=K*(V_2-V_1)$

    Dans cette partie, on considère $R_1=R_3=10k\Omega$ pour simplifier les expressions. On pourra en particulier réécrire au besoin les équations précédentes.

    Et on souhaite déterminer les valeurs de $R_2$ et $R_4$ pour amplifier la différence de $V_2$ et de $V_1$ par un coefficient $K=100$.

    5.1. Déterminer $K$ en fonction de $R_1$ et $R_2$

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    , soit : $$$$

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    $$$$

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    \(K=\)

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    5.2. En déduire la valeur de $R_2$

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    \(R_2=\)

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    5.3. Exprimer $K$ en fonction de $R_1$, $R_2$, $R_3$ et $R_4$

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    , soit : $$$$

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    $$$$

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    \(K=\)

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    5.4. En déduire la valeur de $R_4$

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    \(R_4=\)

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