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Cet exercice propose de démontrer le théorème de Millman en se limitant à 3 branches (pour rester compatible avec le système d'auto-évaluation qui ne permet pas une validation des équations avec une étude à n branches).
La figure servant de base à cette démonstration est la suivante :
Précision importante : le circuit est complet. Cela signifie qu'il n'y a rien d'autre de connecter sur les bornes A et B.
1. Valeur du courant I
Valider vos choix
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0 ptsPoint(s) obtenu(s)
1
2
Bonne réponse : 1 pt(s). Mauvaise réponse : -1 pt(s). Pas de réponse : 0 pt
2. Utilisation de la loi des branches
2.1. Equations de la branche de gauche
2.1.1. Donner l'expression de la tension $U_{AB}$ en fonction de $V_1$, $R_1$ et $I_1$
Editer/Valider vos calculs
Tout effacer
1 ptsBarème bonne réponse
0 ptsPoint(s) obtenu(s) Barème : 1 pt(s)
Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :
, soit :
$$$$
Ajouter l'équation ...
$$$$
Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :
\(U_{AB}=\)
Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs.$$$$
2.1.2. En déduire l'expression du courant $I_1$ en fonction de $U_{AB}$, $V_1$ et $R_1$
Editer/Valider vos calculs
Tout effacer
1 ptsBarème bonne réponse
0 ptsPoint(s) obtenu(s) Barème : 1 pt(s)
Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :
, soit :
$$$$
Ajouter l'équation ...
$$$$
Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :
\(I_1=\)
Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs.$$$$
2.2. En procédant de la même façon avec la branche centrale, donner l'expression du courant $I_2$ en fonction de $U_{AB}$, $V_2$ et $R_2$
Editer/Valider vos calculs
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1 ptsBarème bonne réponse
0 ptsPoint(s) obtenu(s) Barème : 1 pt(s)
Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :
, soit :
$$$$
Ajouter l'équation ...
$$$$
Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :
\(I_2=\)
Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs.$$$$
2.3. Reprendre identiquement avec la branche de droite, donner l'expression du courant $I_3$ en fonction de $U_{AB}$, $V_3$ et $R_3$
Editer/Valider vos calculs
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1 ptsBarème bonne réponse
0 ptsPoint(s) obtenu(s) Barème : 1 pt(s)
Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :
, soit :
$$$$
Ajouter l'équation ...
$$$$
Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :
\(I_3=\)
Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs.$$$$
3. Vers Millman ...
3.1. Ecrire la loi des noeuds pour le courant $I$ avec les courants de branche $I_1$, $I_2$ et $I_3$
Editer/Valider vos calculs
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1 ptsBarème bonne réponse
0 ptsPoint(s) obtenu(s) Barème : 1 pt(s)
Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :
, soit :
$$$$
Ajouter l'équation ...
$$$$
Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :
\(I=\)
Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs.$$$$
3.2. Réécrire cette expression en remplaçant les différents courants par leurs expressions établies lors de l'étude de chacune des branches
Editer/Valider vos calculs
Tout effacer
1 ptsBarème bonne réponse
0 ptsPoint(s) obtenu(s) Barème : 1 pt(s)
Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :
, soit :
$$$$
Ajouter l'équation ...
$$$$
Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :
\(I=\)
Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs.$$$$
3.3. Pour finir, en déduire l'expression de $U_{AB}$ en fonction des $R_i$ et des $V_i$
Conseil : passer tous les termes en $V_i$ à droite de l'égalité et factoriser par $U_{AB}$ à gauche de l'égalité.
Editer/Valider vos calculs
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1 ptsBarème bonne réponse
0 ptsPoint(s) obtenu(s) Barème : 1 pt(s)
Posez vos calculs intermédiaires ici et validez chacun d'entre eux en cliquant sur le bouton Ajouter l'équation lorsque le champ d'édition devient vert :
, soit :
$$$$
Ajouter l'équation ...
$$$$
Saisissez la réponse finale et simplifiée de votre calcul :
\(U_{AB}=\)
Cliquer sur le bouton de la barre d'outils à droite pour saisir vos calculs.$$$$
ce qui démontre le théorème de Millman avec 3 branches.
Il est aisé de passer à N branches ...
Conclusion : lorsque seules des relations aux tensions sont recherchées, utiliser Millman revient à effectuer la loi des branches et la loi des noeuds en une seule opération. Dans de nombreux cas de figure, comme c'est le cas pour l'étude de circuits à bases d'amplificateurs opérationnels par exemple, les calculs en sont grandement simplifiés.