Electronique

Filtrage d'un haut-parleur de grave-medium

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Il s'agit d'un filtre passif en échelle tel que ceux mis en oeuvre dans le filtrage des haut-parleurs d'une enceinte acoustique.

Son schéma est le suivant :

 Filtre passif n°3

Le calcul de la fonction de transfert peut se faire avec différentes approches (Millman au point \(V\), isolation de la cellule \(L_1,C\) d'entrée par Thévenin).

1. Ecrire Millman au point \(V\)

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    \(V=\)

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    Le schéma du circuit fait clairement apparaître3 branches pour aller au noeuds \(V\). Notez bien le potentiel \(V_s\) entre \(L_2\) et \(R\).

    \begin{equation} V=\frac{ \frac{ V_e }{ L_1p }+\frac{ 0 }{ \frac{ 1 }{ Cp } } + \frac{ V_s }{ L_2p } }{ \frac{ 1 }{ L_1p } + \frac{1  }{ \frac{1}{Cp} } + \frac{ 1 }{ L_2p } } \label{ex6eq1} \end{equation}

    Rappel de mathématiques : \( \frac{ 1 }{ \frac{ 1 }{ A } } = \frac{ 1 }{ \frac{ 1 }{ A } }.\frac{ A }{ A }=\frac{ A }{ \frac{ A }{ A } }=A\)
    Conséquence : les capacités apparaîtront directement au numérateur dans les calculs avec Millman \(...\frac{V_s}{ \frac{1}{Cp} }=V_s.Cp ....\).

    Il est ainsi possible de réécrire l'équation \(\eqref{ex6eq1}\) comme suit :

    \begin{equation} \boxed{V=\frac{ \frac{ V_e }{ L_1p } + \frac{ V_s }{ L_2p } }{ \frac{ 1 }{ L_1p } + Cp + \frac{ 1 }{ L_2p } } } \label{ex6eq2} \end{equation}

    En multipliant numérateur et dénominateur par \(L_1p.L_2p\), on allège l'écriture de l'équation \(\eqref{ex6eq2} \) :

    \begin{align} V&=\frac{ \frac{ V_e }{ L_1p } + \frac{ V_s }{ L_2p } }{ \frac{ 1 }{ L_1p } + Cp + \frac{ 1 }{ L_2p } } \frac{L_1p.L_2p}{L_1p.L_2p}  \\ &=\frac{ L_2p.V_e+L_1p.V_s}{L_1p+L_2p+L_1L_2Cp^3} \label{ex6eq5} \end{align}

    2. Ecrire le théorème de Millman à la sortie (on pourrait utiliser le diviseur de tension)

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    \(V_s=\)

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    On écrit donc Millman au point situé entre \(L_2\) et \(R\) dont le potentiel est \(V_s\) :

    \begin{equation} \boxed{V_s=\frac{ \frac{ V }{ L_2p } }{ \frac{ 1 }{ L_2p } + \frac{1}{R} } } \label{ex6eq3} \end{equation}

    En multipliant par \(L_2p\) le numérateur et le dénominateur, on trouve :

    \begin{align} \eqref{ex6eq3} \Leftrightarrow V_s&= \frac{ V }{ 1+\frac{L_2p}{R} } \\  \Leftrightarrow V &= \left ( 1+\frac{L_2p}{R} \right ).V_s \label{ex6eq4} \end{align}

    3. En déduire la fonction de transfert du circuit

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    \(H(p)=\)

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    4. Question subsidiaire : recherche de la fonction de transfert en utilisant le théorème de Thévenin

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    5. De quel type de filtre s'agit-il ?

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    6. Question supplémentaire : détermination de les expressions permettant le calcul des composants

    Le choix se porte sur la réalisation d'un filtre de Butterworth avec une coupure à \(f_c=3kHz\) dont la fonction de transfert du passe-bas au troisième ordre s'écrit :

    \begin{equation} H(p) = \frac{1}{ 1+2{p}/{\omega_0}+2 \left ( {p}/{\omega_0} \right ) ^2 + \left ( {p}/{\omega_0} \right ) ^3  } \end{equation}

    Note : on aura donc \(\omega_0=2\pi f_c\)

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    \(L_2=\)

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    \(L_1=\)

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    \(C=\)

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