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Diviseur de tension

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Cet exercice présente l'étude du diviseur de tension en utilisant le théorème de Millman et les lois de Kirchoff. On s'intéresse également au gain du circuit.

La figure est la suivante :

Pont diviseur

1. Rechercher \(V_s/V_e\)

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    \(\frac{V_s}{V_e}=\)

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    Correction

    La résolution de cet exercice impose de connaître correctement :

    • soit le théorème de Millman,
    • soit les lois de Kirchoff (loi des mailles, égalités des branches, loi des noeuds).

    Note : la connaissance du diviseur de tension permet également de répondre directement à la question sans justification.

    On peut reprendre la figure de l'énoncé en l'agrémentant de quelques points : nommage des courants (\(I\) par exemple), nommage des noeuds (\(A\) par exemple) et repérage de certains potentiels (\(0\) pour le potentiel de référence du circuit), mailles du circuit (maille dessinée en vert dans l'optique de réaliser la loi des mailles). L'utilité de ces notations dépendra bien entendu de la méthode utilisée ensuite.

    La figure devient alors :

    Pont diviseur

    1.1.  Utilisation du Théorème de Millman

    On le calcule au point \(A\). La référence de tension pour le calcul est le 0v.

    Ici, on dénombre 2 branches pour arriver en \(A\) :

    • 1 branche avec \(R_1\) et le potentiel \(V_e\) de l'autre côté de \(R_1\).
    • 1 branche avec \(R_2\) et le potentiel \(0\) de l'autre côté de \(R_2\).

    D'où : \begin{equation} V_A=\frac{ \frac{V_e}{R_1} + \frac{0}{R_2} }{ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} } \label{div_mill1}\end{equation}

    Conseil : réduire le nombre de fractions pour augmenter la lisibilité de vos calculs et limiter les risques d'erreurs.

    Appliquons ce dernier conseil : ici on a des fractions en \(\frac{1}{R_1}\) et en \(\frac{1}{R_2}\) au numérateur et au dénominateur de la fraction finale. Par conséquent, il faut multiplier par \(R_1.R_2\) le numérateur et le dénominateur.

    Soit : \begin{equation} \eqref{div_mill1} \Leftrightarrow V_A=\frac{ \frac{V_e}{R_1} + \frac{0}{R_2} }{ \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} }.\frac{R_1.R_2}{R_1.R_2}\label{div_mill2}\end{equation}

     En distribuant et en opérant les simplifications élémentaires du type \(\frac{R_1}{R_1}=1\), on trouve :

    \begin{equation} \eqref{div_mill2} \Leftrightarrow V_A=V_s=\frac{R_2.V_e}{R_1+R_2} \label{div_mill3} \end{equation} 

     Finalement :

    \begin{equation} \eqref{div_mill3} \Leftrightarrow \boxed{\frac{V_s}{V_e}=\frac{R_2}{R_1+R_2}} \label{diviseur1} \end{equation} 

    1.2. Utilisation des lois de Kirchoff

    Rappels Loi des mailles : on calcule la somme des tensions des dipôles sur le chemin de la maille avec un signe + lorsque la tension aux bornes du dipôle est dans le sens de la maille; avec un signe - si la tension aux bornes du dipôle est orientée en opposition par rapport au sens de parcours de la maille.

    Rappel sur la loi d'Ohm pour un dipôle d'impédance \(\underline{Z}\) : en convention récepteur, la différence de potentiels \(\underline{U_{AB}}\) aux bornes du dipôle et le courant \(\underline{I}\) traversant le dipôle sont placés en opposition. La loi d'Ohm s'écrit alors \(\underline{U_{AB}}=\underline{Z}.\underline{I}\).

    Ecriture de la loi d'Ohm:

    \begin{equation}V_{R_1}=R_1.I \label{vr1} \end{equation}

    et

    \begin{equation}V_{R_2}=R_2.I \label{vs1}\end{equation}

    Par aileurs (loi des branches), on peut voir que \(V_s\) est la différence de potentiels aux bornes de \(R_2\) d'où :

    \begin{equation} \eqref{vs1} \Rightarrow V_s=V_{R_2}=R_2.I\label{vs2}\end{equation}

    Ce qui permet d'exprimer \(I\) en fonction de \(V_s\) :

    \begin{equation}I=\frac{V_s}{R_2} \label{courantI}\end{equation}

    En écrivant la loi des mailles, il vient :

    \begin{equation}V_e-V_{R_1}-V_{R_2}=0 \label{maille1}\end{equation}

    soit : \begin{equation}\eqref{vr1},\eqref{vs2}, \eqref{maille1} \Rightarrow V_e-R_1.I-V_s=0 \label{maille2}\end{equation}

    \begin{equation}\eqref{courantI},\eqref{maille2} \Rightarrow V_e-R_1.\frac{V_s}{R_2}-V_s=0 \label{maille3}\end{equation}

    \begin{equation}\Leftrightarrow V_e=R_1.\frac{V_s}{R_2}+V_s \label{maille4}\end{equation}

    en passant les termes en \(V_s\) et  \(R_1.\frac{V_s}{R_2}\)de l'autre côté de l'égalité.

    On met maintenant \(V_s\) en facteur :

    \begin{equation}\eqref{maille4} \Leftrightarrow V_e=V_s.\left ( R_1.\frac{1}{R_2}+1 \right ) \label{maille5}\end{equation}

    \begin{equation}\Leftrightarrow V_e=V_s.\left ( \frac{R_1}{R_2}+1 \right ) \label{maille6} \end{equation}

    Comme \(A=\frac{B}{C} \Leftrightarrow A.C=B\), il vient :

    \begin{equation}\eqref{maille6} \Leftrightarrow \frac{V_e}{\frac{R_1}{R_2}+1}=V_s \label{maille7} \end{equation}

    En multipliant le numérateur et le dénominateur de la fraction par \(R_2\), on a alors :

    \begin{equation}\eqref{maille7} \Leftrightarrow V_s=\frac{V_e}{\frac{R_1}{R_2}+1}.\frac{R_2}{R_2} \label{maille8} \end{equation}

    \begin{equation} \Leftrightarrow V_s=\frac{R_2.V_e}{R_1+R_2} \label{maille9} \end{equation}

    Finalement :

    \begin{equation}\eqref{maille9} \Leftrightarrow V_s=\frac{R_2}{R_1+R_2}.V_e \Leftrightarrow \boxed{\frac{V_s}{V_e}=\frac{R_2}{R_1+R_2} } \label{diviseur} \end{equation}

    On retrouve bien la relation \(\eqref{diviseur1}\) déterminée en utilisant le théorème de Millman.

    Note : les plus récalcitrants à Millman auront peut-être compris son utilité !

    2. Déterminer le gain du circuit

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    \(A.N : G=\)

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    Important : le logarithme décimal s'écrit log10(...) et non log(...).

    Correction

    Définition : \(\underline{V_e}\) et \(\underline{V_s}\) désignant respectivement les signaux d'entrée et de sortie d'un circuit en notation complexe, le gain de ce circuit s'écrit \( G(\omega) = 20.log \left | \frac{\underline{V_s}}{\underline{V_e}} \right | \) et s'exprime en décibel (\(dB\)).

    Appliquons ici : \(G(\omega)=20.log \left | \frac{\underline{V_s}}{\underline{V_e}} \right | = 20.log \left | \frac{R_2}{R_1+R_2} \right | \)

    Comme \( \frac{R_2}{R_1+R_2}\) est un réel positif, on peut ôter la valeur absolue et l'équation précédente devient :

    \begin{equation} \boxed{G(\omega)= 20.log \left ( \frac{R_2}{R_1+R_2} \right )}  \label{gdiviseur} \end{equation}

    Notez que la fraction \( \frac{R_2}{R_1+R_2} \) possède un dénominateur supérieur à son numérateur donc :

    \begin{equation} \frac{R_2}{R_1+R_2} < 1 \Rightarrow log \left ( \frac{R_2}{R_1+R_2} \right ) < 0 dB \label{gdiviseur1} \end{equation}.

    A.N : \(\boxed{G(\omega) = 20.log \left ( \frac{33.10^3}{10.10^3+33.10^3} \right ) = -2.29 \, dB}\).

    3. Recalculer \(R_2\) pour avoir un gain du circuit de \(G_0=-20 \, dB\)

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    , soit : $$$$

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    $$$$

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    \(R_2=\)

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    \(A.N : R_2=\)

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    Correction

    On veut donc \(G(\omega) = -20dB\).

    Soit : \begin{equation} -20=20.log \left ( \frac{R_2}{R_1+R_2} \right ) \Leftrightarrow log \left ( \frac{R_2}{R_1+R_2} \right ) = -1 \label{gain1} \end{equation}

    On cherche \(R_2\). Par conséquent, il faut inverser la fonction \(log\).

    Rappel de math : \(log(a) = b \Leftrightarrow 10^{log(a)}=10^b \Leftrightarrow a=10^b\).

    Donc ici :

    \begin{equation} \eqref{gain1} \Leftrightarrow \frac{R_2}{R_1+R_2} = 10^{-1}=0.1 \label{gain2} \end{equation}

    \begin{equation} \Leftrightarrow R_2=0.1.(R_1+R_2) \label{gain3} \end{equation}

    \begin{equation} \Leftrightarrow R_2=0.1.R_1+0.1.R_2 \label{gain4} \end{equation}

    En regroupant les termes en \(R_2\) à gauche de l'égalité :

    \begin{equation} \Leftrightarrow R_2-0.1.R_2=R_2.(1-0.1)=0.1R_1 \Leftrightarrow 0.9.R_2=0.1.R_1 \label{gain5} \end{equation}

    Finalement :

    \begin{equation} \eqref{gain5} \Leftrightarrow \boxed{R_2=\frac{0.1}{0.9}.R_1} \label{gain6} \end{equation}

    A.N : \( \boxed{ R_2=\frac{0.1}{0.9}.10k \Omega =1.11k \Omega }\).

    Remarque : au moment de l'utilisation des générateurs basses fréquences en travaux pratiques, vous avez déjà vu qu'on pouvait appliquer une atténuation de \(20dB\) sur la sortie en appuyant sur le bouton adéquat et observé que cela divise le signal par 10. On pouvait donc en déduire directement qu'il fallait calculer \(R_2\) pour avoir \(\frac{V_s}{V_e}=\frac{1}{10}\), soit \(\frac{R_2}{R_1+R_2}=\frac{1}{10} \Leftrightarrow 10.R_2=R_1+R_2 \Leftrightarrow 9.R_2=R_1 \Leftrightarrow R_2=\frac{R_1}{9}\).